Знайдено конструктивний опис елементів послідовності псевдовипадкових чисел (ПВЧ) узагальнених генераторів в термінах поліномів від номеру елемента послідовності й її ініціального значення, що призводить до побудови нового доведення теореми про мінімальну довжину максимального періоду послідовності ПВЧ, а також дозволяє знайти покращені верхні оцінки та нові нижні оцінки дискрипантної функції. Введено поняття степеневої та норменої сум Клостермана над кільцем цілих гаусових чисел. Знайдено нетривіальні оцінки таких сум. Побудовано асимптотичні оцінки суматорної функції для функції числа дільників цілих гаусових чисел, які зважені спеціальними арифметичними функціями.

  Скачати повний текст

Побудованi новi нетривiальнi оцiнки повних чистих або твiстовихсум з многочленом в показнику над кiльцем цiлих елементiв уявного квадратичного розширення поля рацiональних чисел. Дослiдженi спецiальнi тригонометричнi суми Клостерманiвського типу над кiльцем цiлих чисел уявного квадратичного розширення поля рацiональних чисел. Побудованi iнверснi конгруентнi генератори за модулем степенi простого рацiонального числа p, наведенi узагальнення iнверсного конгруентного генератора. Побудовано новий тип генераторiв, для яких рекурсiя генерування основана на властивостях елементiв так званої норменої групи, яка є пiдгрупою мультиплiкативної групи класiв лишкiв кiльця Z[i] за модулем p^m, де p - просте рацiональне число, яке не розпадається в полi Q(√(-d)), d>0. Розглядаються оцiнки тригонометричних суми на послiдовностях ПВЧ, черезякi оцiнюється дескрiпантна функцiя послiдовностей ПВЧ. Отриманi оцiнки дескрiпансiї узагальнених послiдовностей ПВЧ, породжених iнверсними генераторами, покращують результати Нiдерайтера i Шпарлiнського. Побудованi асимптотичнi формули суматорних функцiй для спецiальних арифметичних функцiй над кiльцями цiлих рацiональних або цiлих чисел уявного квадратичного розширення поля рацiональних чисел. Також отриманi оцiнки залишковихчленiв для суматорних функцiй, пов'язаних з розподлiлом значень τ_3 (α). Побудована асимптотична формула для кiлькостi цiлих гаусових чисел у вузькому секторi кола радiусу x^(1/2) , норми яких належать арифметичнiй прогресiї, рiзниця якої росте з зростанням i не перевищує x^(2/3), а розмiр кутового сектору прямує до нуля. Подiбнi оцiнки були отриманi нами в проблемi елiпсу на арифметичнiй прогресiї. Знайдено аналiтичний вираз перетворення Лапласа добутку пар -функцiй Геке Z_m (s;δ_1/γ,0) Z_m (s ̅;0,δ_2/γ). Дослiджена проблема зображення натуральних чисел квадратичними формами вiд n змiнних, яка узагальнює проблему Варинга. Побудована нова асимптотична формула для кiлькостi точок всерединi елiпса на арифметичнiй прогресiї.^UThis thesis is devoted to investigation the generating problems of the sequences of pseudorandom numbers using a competitive recursion of the prime power modulus, as well as the problems of analytical number theory that arise with constructing the asymptotic formulas for summatory functions associated with the distribution of divisor functions τ_k, k = 2,3 over the rings of rational integers or Gaussian integers. We introduced the construction of new non-trivial estimates of purely completed or twisted exponential sums with a polynomial in the exponent over the ring of Gaussian integers. In addition, there are investigated the special exponential sums of Klosterman type over the ring of integers of an imaginary quadratic expansion of the field of rational numbers. The studied norm Klosterman sums have no analogue in the rational case, and their estimates are used to obtain the estimates of an error terms in problems of analytic number theory such as the problem of circle (or ellipse) in arithmetic progression and in the coding theory with Klosterman code problems etc. The obtained estimates of the norm Klosterman sums are related to the results of P. Deligne and E. Bombieri on the Riemann hypothesis for algebraic varieties. R. Evans, G. Perelmuter, S. Stepanov, R. Dabrovsky, V. Fischer, H. Ivanets and others were engaged in the development of methods for estimating of such sums. The significance of the obtained results on estimates of completed exponential sums is that the asymptotic formulas for estimates of the distribution of arithmetic functions on arithmetic progressions are based on such estimates. The second part of thesis is devoted to construction the inversive congruential generators modulo the power of prime rational number p. We gave the generalizations of the inversive congruential generator. We also investigated the inversive congruential generator of second order. Here also we constructed a new type of generators for which the relative recursion is based on the properties of elements from so-called the norm group, which is a subgroup of the multiplicative group of residue classes of the ring Z[θ] modulo the p^m. We used the constructed exponential sums to obtain the non-trivial estimates for discrepancy function of sequences of PRN's. The obtained estimates of discrepant function improve the results of Niederreiter and Shparlinskii. The last part of thesis was being devoted to the problems of analytical number theory.